பகடை ஜெனரேட்டர்

உங்கள் போர்டு கேம் பகடைகளைத் தொலைத்துவிட்டீர்களா, அல்லது ரோல்-பிளேயிங் (role-playing) கேம் விளையாடும்போது d20 தேவையா? இந்த இலவச ஆன்லைன் பகடை ஜெனரேட்டர் உங்களிடம் இல்லாத எந்தப் பகடைக்கும் மாற்றாகச் செயல்படும். “பகடை” என்ற புலத்தில் நீங்கள் எத்தனை பகடைகளை உருட்ட விரும்புகிறீர்கள் என்பதை அமைக்கவும் — 1 முதல் 20 வரை எந்த எண்ணாகவும் இருக்கலாம் — “பக்கங்கள்” புலத்தில் ஒவ்வொரு பகடைக்கும் எத்தனை பக்கங்கள் உள்ளன என்பதைக் குறிப்பிடவும், பின்னர் “உருவாக்கு” என்பதைக் கிளிக் செய்யவும். இந்தப் பக்கம் இரண்டு சாதாரண ஆறு பக்க பகடைகளுடன் திறக்கப்படும், எனவே முதல் உருட்டலுக்கு ஒரே ஒரு கிளிக் செய்தால் போதும். ஒவ்வொரு பகடையும் தனித்தனியாகக் காட்டப்படும், மேலும் உருட்டப்பட்ட பகடைகளின் ஒட்டுமொத்த கூட்டல் அவற்றிற்கு நேரே கீழே தோன்றும், இதனால் 3d6-க்கு நீங்கள் மனக்கணக்கு போடத் தேவையில்லை.

ஒவ்வொரு உருட்டலும் உங்கள் உலாவி மூலம் Web Crypto API (crypto.getRandomValues) வழியாகச் செயல்படுத்தப்படுகிறது, இது Math.random() போன்ற போலி சீரற்ற JavaScript செயல்பாட்டிற்குப் பதிலாக, உங்கள் சொந்த கணினியின் சீரற்ற மூலத்திலிருந்து நேரடியாக கிரிப்டோகிராஃபிக் முறையில் வலுவான சீரற்ற மதிப்பைப் பெறுகிறது. 32-பிட் மூல மதிப்பை பக்கங்களின் எண்ணிக்கையாக மாற்றும் இடத்தில்தான் மெய்நிகர் பகடைகள் பெரும்பாலும் அமைதியாகத் தவறுகளைச் செய்கின்றன: அந்த மதிப்பை பக்கங்களின் எண்ணிக்கையால் வகுத்து மீதத்தை (modulo) எடுப்பது மிகவும் வெளிப்படையான முறையாகும், ஆனால் அது ஒரு சார்புடைய முறையாகும், ஏனெனில் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை 2^32-ஐச் சரியாக வகுக்கவில்லை என்றால், கீழ் எண்கள் மற்றவற்றை விடச் சற்று அதிகமாக விழும். இந்தக் குறைபாடு modulo bias என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது வெறும் கோட்பாடு மட்டுமல்ல, அளவிடக்கூடிய ஒன்றாகும். அதற்குப் பதிலாக, இந்த கருவி பக்கங்களின் எண்ணிக்கையின் மிகப் பெரிய சரியான மடங்கை விட அதிகமாக இருக்கும் எந்த மதிப்பையும் நிராகரித்துவிட்டு மீண்டும் இழுக்கிறது — இந்த நுட்பம் rejection sampling என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதற்குச் சில கூடுதல் இழுத்தல்கள் தேவைப்பட்டாலும், இது தோராயத்திற்குப் பதிலாகத் துல்லியமான உத்தரவாதத்தை வழங்குகிறது. எந்தவொரு தரவும் சர்வருக்கு அனுப்பப்படுவதில்லை, பதிவேடுகளில் எதுவும் சேமிக்கப்படுவதில்லை, மேலும் பக்கம் ஏற்றப்பட்டவுடன் உங்கள் இணைய இணைப்பு துண்டிக்கப்பட்டாலும் உங்கள் உருட்டல்கள் தொடர்ந்து வேலை செய்யும்.

இந்த இரண்டு புலங்களும் முழு வேலைகளையும் செய்கின்றன, மேலும் இவை விளையாட்டுகளில் ஏற்கனவே பயன்படுத்தப்படும் பகடை குறியீடுகளுடன் நேரடியாகப் பொருந்துகின்றன. “பகடை” என்பது நீங்கள் ஒரே நேரத்தில் எத்தனை பகடைகளை உருட்டுகிறீர்கள் என்பதைக் குறிக்கிறது, இது 1 முதல் 20 வரை இருக்கலாம். “பக்கங்கள்” என்பது ஒவ்வொன்றிற்கும் எத்தனை பக்கங்கள் உள்ளன என்பதைக் குறிக்கிறது, இது 2 முதல் 1000 வரை இருக்கலாம் — இது d2 நாணயம் சுண்டுதல், முழுமையான ரோல்-பிளேயிங் செட் (d4, d6, d8, d10, d12 மற்றும் d20), d100 சதவீதம் மற்றும் ஒரு விளையாட்டு கற்பனை செய்யக்கூடிய எதற்கும் போதுமானது. NdM வடிவத்தில் எழுதப்படும் எதுவாக இருந்தாலும் அது அடிப்படையில் இந்த இரண்டு புலங்கள் மட்டுமே: 2d6 என்பது “பகடை” என்பதை 2 ஆகவும் “பக்கங்கள்” என்பதை 6 ஆகவும் அமைப்பதைக் குறிக்கிறது, அதேசமயம் தனித்த d20 என்பது “பகடை” 1 மற்றும் “பக்கங்கள்” 20 என்பதைக் குறிக்கிறது. ஒரு கதாபாத்திரத்தின் பண்பிற்காக 3d6 உருட்டுகிறீர்களா? “பகடை” என்பதை 3 ஆகவும், “பக்கங்கள்” என்பதை 6 ஆகவும் அமைத்து, “உருவாக்கு” என்பதைக் கிளிக் செய்யவும், மூன்று பக்கங்களும் அவற்றின் மொத்தக் கூட்டலுடன் தோன்றும். இரண்டு சுவிட்சுகள் முடிவின் தோற்றத்தை மாற்றுகின்றன, அதன் உள்ளடக்கத்தை அல்ல. “அனிமேஷன் செய்யப்பட்ட 3D பகடை”, இது இயல்பாகவே ஆன் செய்யப்பட்டுள்ளது, ஒவ்வொரு பகடைக்கும் அது நிற்கும் வரை சுழலும் ஒரு கனசதுரத்தை வரைகிறது — அதை ஆஃப் செய்தால், எண்கள் உடனடியாக ஒரு எளிய பட்டியலாகத் தோன்றும். “சீரற்ற நிறம்” ஒவ்வொரு பகடைக்கும் நிலையான சிவப்பு நிறத்திற்குப் பதிலாக அதன் தனித்துவமான நிறத்தை வழங்குகிறது, மேலும் இது “அனிமேஷன் செய்யப்பட்ட 3D பகடை” ஆன் செய்யப்பட்டிருக்கும்போது மட்டுமே வேலை செய்யும், ஏனெனில் எளிய பட்டியலில் வண்ணம் தீட்டுவதற்கு பகடைகள் இல்லை. ஆறு பக்க பகடைக்கு மட்டுமே புள்ளிகள் வரையப்படுகின்றன; வேறு எந்த வகையும் விழுந்த எண்ணை நேரடியாகப் பக்கத்தில் காண்பிக்கும், ஏனெனில் பதினேழு பக்கங்களுக்கு நிலையான புள்ளி அமைப்பு எதுவும் இல்லை.

முடிவுக்குக் கீழே உள்ள ஒரு வரி உங்களைக் கணக்கு போடுவதிலிருந்து காப்பாற்றுகிறது: Σ என்பது உருட்டலில் சேர்க்கப்பட்ட ஒவ்வொரு பகடையின் கூட்டல் தொகையாகும், அத்துடன் உருட்டலுக்குச் செலவான நேரமும், அது அகத்திலேயே உருவாக்கப்பட்டது என்ற குறிப்பும் இருக்கும். “அனைத்தையும் நகலெடு” பொத்தான் முடிவை உங்கள் கிளிப்போர்டுக்கு அனுப்புகிறது, மேலும் “கோப்பில் சேமி” அதனை ஒரு உரை கோப்பில் எழுதுகிறது — இரண்டும் மொத்தக் கூட்டலை மட்டும் வழங்காமல், தனித்தனி பக்கங்களை, வரிக்கு ஒன்றாக வழங்குகின்றன, இதனால் உருட்டப்பட்டதன் பதிவு உருட்டப்பட்டதன் பதிவாகவே இருக்கும். “வரலாறு” உங்கள் கடைசி 10 உருட்டல்களை உங்கள் உலாவியிலேயே நேரடியாக வைத்திருக்கிறது: அதில் ஒன்றைக் கிளிக் செய்து அதன் கூட்டலுடன் திரைக்குக் கொண்டுவரலாம், ஒரு பதிவை மட்டும் நகலெடுக்கலாம் அல்லது அழிக்கலாம், அல்லது நீங்கள் விரும்பும்போது முழு பட்டியலையும் அழிக்கலாம். “அழி” பொத்தான் முடிவு விண்டோவை காலி செய்கிறது, ஆனால் உங்கள் அமைப்புகளை மாற்றாமல் அப்படியே வைத்திருக்கிறது.

மெய்நிகர் பகடைகள் இயற்பியல் பகடைகளை விடச் சிறந்தவையா? நியாயத்தின் அடிப்படையில் பார்த்தால் — ஆம், அதற்குக் காரணம் இயற்பியல்தான். ஒரு சாதாரண வார்க்கப்பட்ட பகடையின் புள்ளிகள் துளையிடப்பட்டு வர்ணம் பூசப்பட்டிருக்கும், மேலும் துளையிடப்படும் ஒவ்வொரு துவாரமும் ஒரு சிறிய அளவிலான பொருளை அகற்றிவிடும், எனவே ஆறு துவாரங்களைக் கொண்ட ஆறு எண் உள்ள பக்கம் மிகச் சற்றே எல்லாவற்றையும் விட லேசானதாகவும், அதற்கு நேர் எதிரான பக்கம் மிகச் சற்றே எல்லாவற்றையும் விடக் கனமானதாகவும் இருக்கும். சூதாட்ட விடுதிகளில் உள்ள precision dice (துல்லிய பகடைகள்) இதற்காகவே உள்ளன: அவற்றின் புள்ளிகள் சமமான அடர்த்தி கொண்ட பொருளால் நிரப்பப்பட்டு தட்டையாக ஆக்கப்பட்டுள்ளன, அவற்றின் விளிம்புகள் வட்டமாக இல்லாமல் செங்கோணங்களில் வெட்டப்பட்டுள்ளன, அவை ஒரு மில்லிமீட்டரின் பின்ன அளவிற்குத் துல்லியமாக இயந்திரத்தால் வார்க்கப்பட்டவை, அப்படியிருந்தும் சில மணிநேர விளையாட்டிற்குப் பிறகு அவை ஆட்டத்திலிருந்து அகற்றப்படுகின்றன. போர்டு கேம் பெட்டியில் உள்ள பகடைகளுக்கு இந்த பண்புகள் ஏதும் கிடையாது, மேலும் அவை பயன்படுத்த பயன்படுத்த மோசமாகின்றன — ஒரு உடைந்த மூலை, பல வருடங்கள் கைகளில் தேய்க்கப்பட்டதால் வட்டமான விளிம்புகள், மேஜைக்குப் பதிலாகப் போர்வையின் மேல் உருட்டப்படும் பகடை, இவையெல்லாம் உண்மையில் சீரற்றவை அல்ல. ஒரு மெய்நிகர் பகடையில் தவறு செய்யக்கூடிய எந்த வடிவியலும் இல்லை, அது தேய்மானம் அடைவதில்லை, மேலும் உருட்டும் உத்தியைப் பற்றி விவாதிக்க எந்த இடமும் தராது, மேலும் அதன் பத்தாயிரமாவது உருட்டலிலும் அதன் முதல் உருட்டலைப் போலவே செயல்படும். அதனால் செய்ய முடியாத ஒரு விஷயம் — உங்கள் உள்ளங்கையில் வசதியாக அமர்ந்திருப்பதுதான். நேர்மையான முடிவு என்னவென்றால், இந்த ஜெனரேட்டர் நியாயத்தில் வெற்றி பெறுகிறது, ஆனால் சடங்கில் தோற்கிறது.

ஒரு நியாயமான பகடையும் ஒரு நியாயமான கூட்டலும் ஒன்றல்ல. ஒரு பகடையின் ஒவ்வொரு பக்கமும் விழுவதற்குச் சமமான வாய்ப்பு உள்ளது, ஆனால் நீங்கள் பகடைகளைக் கூட்டத் தொடங்கும்போது, அந்தத் தொகைகள் இந்தச் சமத்துவத்தை இழக்கின்றன, இது மக்களை எப்போதும் ஆச்சரியப்படுத்துகிறது. இரண்டு ஆறு பக்க பகடைகள் சமமான வாய்ப்புள்ள 36 சேர்க்கைகளில் விழுகின்றன; அவற்றில் சரியாக 6 சேர்க்கைகள் கூட்டினால் 7 என்று வரும், அதேசமயம் 2 வர ஒரு வழி மட்டுமே உள்ளது மற்றும் 12 வர சரியாக ஒரு வழி மட்டுமே உள்ளது — எனவே 12 ஐ விட 7 ஆறு மடங்கு அதிகமாகத் தோன்றும், இது முற்றிலும் நியாயமான பகடைகளுக்கும் பொருந்தும். மூன்றாவது பகடையைச் சேர்ப்பது இந்த அமைப்பை இன்னும் சுருக்கிவிடுகிறது, இதனால் 3d6-இன் முடிவுகள் நடுத்தர எண்களைச் சுற்றி குவியத் தொடங்குகின்றன, இதனால்தான் கேம் வடிவமைப்பாளர்கள் உச்ச எண்களுக்குப் பதிலாக சராசரியான மதிப்பு தேவைப்படும்போது இதனைப் பயன்படுத்துகின்றனர். ஒற்றை ஆறு பக்க பகடையின் சராசரி சரியாக 3.5 ஆகும், இது 2d6 இன் சராசரியை 7 ஆகவும், 3d6 இன் சராசரியை 10.5 ஆகவும் ஆக்குகிறது, கேமிங் மேஜையில் இந்த கணிதம் எந்தவொரு நிகழ்தகவையும் விட மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இதில் எதுவும் குறைபாடோ அல்லது சார்போ அல்ல: பகடைகளைக் கூட்டுவது அப்படித்தான் வேலை செய்கிறது, அதனால்தான் இரண்டுமே ஏறக்குறைய ஒரே மாதிரியான வரம்பைக் கொண்டிருந்தாலும், ஒற்றை d12-க்கு பதிலாக ஒரு கேம் 2d6 ஐக் கேட்கிறது.

பகடைகளுக்கு நினைவாற்றல் இல்லை. ஒரு ஆறைத் தொடர்ந்து நான்கு முறை உருட்டுவது ஐந்தாவது முறையாக ஆறு வருவதற்கான வாய்ப்பைச் சிறிதும் குறைப்பதில்லை, இரவு முழுவதும் ஒரு 1 ஐக் கூடக் காட்டாத பகடை அதனால் ஒன்றை ஈட்டிவிடவில்லை, எந்தவொரு பக்கத்திற்கும் தோன்றுவதற்கான “முறை” ஒருபோதும் வருவதில்லை — ஒவ்வொரு உருட்டலும் முந்தைய உருட்டலிலிருந்து முற்றிலும் சுதந்திரமானது, ஒரு நிமிடம் முன்பு என்ன செய்தோம் என்பது பகடைக்குத் தெரியாது. இதற்கு மாறாகக் கூறும் உள்ளுணர்வு gambler's fallacy (சூதாடியின் வீண்நம்பிக்கை) என்று அழைக்கப்படுகிறது, அந்த உள்ளுணர்வே பகடை முடிவுகளை நாமே உருவாக்கும்போது நாம் மிகவும் மோசமாக இருப்பதற்குக் காரணமாகும்: நம்பகமான உருட்டல்களின் வரிசையை எழுதச் சொன்னால், நாம் எண்கள் மீண்டும் வருவதைத் தவிர்க்கிறோம், பெரிய மற்றும் சிறிய எண்களை மாற்றி மாற்றி எழுதுகிறோம், மேலும் உண்மையான சீரற்ற தன்மை செய்வதை விடச் சீராக அவற்றைப் பரப்புகிறோம். உண்மையான சீரற்ற தன்மை, மறுபுறம், எண்களின் குவிப்புகள், நீண்ட ஒத்த எண்களின் தொடர்கள் மற்றும் எண்கள் மீண்டும் வராத நீண்ட இடைவெளிகளை உருவாக்குகிறது. சந்தேகத்திற்கிடமான வகையில் நேர்த்தியாகத் தோன்றும் எண்களின் வரிசை உண்மையில் மனிதனின் கைரேகையாகும்.

இந்த பகடை ஜெனரேட்டரை ஏன் தேர்வு செய்ய வேண்டும்?

• உலாவி-மட்டுமே உருட்டல்: பகடைகள் உங்கள் சாதனத்திலேயே உருட்டப்படுகின்றன, எங்கும் அனுப்பப்படுவதில்லை
• Web Crypto API ரேண்டம்னஸ்: கிரிப்டோகிராஃபிக் முறைப்படி பாதுகாப்பானது, Math.random() பயன்பாடு இல்லை
• modulo bias இல்லாமல்: rejection sampling நுட்பம் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் வாய்ப்புகளையும் கச்சிதமாகச் சமமாக வைத்திருக்கிறது
• எந்த விளையாட்டிற்கும் தேவையான பகடைகள்: ஒரே நேரத்தில் 1 முதல் 20 பகடைகள் வரை, d2 முதல் d1000 வரை
• கூட்டல் உங்களுக்காகக் கணக்கிடப்படுகிறது: Σ முழு உருட்டலையும் கூட்டுகிறது, எனவே 3d6-க்கு மனக்கணக்கு தேவையில்லை
• அனிமேஷன் செய்யப்பட்ட 3D பகடை, அல்லது எளிய எண்களின் பட்டியலை உடனடியாகப் பெற அனிமேஷனை ஆஃப் செய்யலாம்
• ஒவ்வொரு பகடைக்கும் தனித்தனி வண்ணங்கள், அதனால் பல பகடைகளை ஒரே பார்வையில் எளிதில் வேறுபடுத்தி அறியலாம்
• “வரலாறு” மற்றும் “கோப்பில் சேமி”: நீங்கள் பின்னர் விளக்க வேண்டிய உருட்டல்களின் பதிவை வைத்துக் கொள்ளுங்கள்
• வரம்பற்றது மற்றும் இலவசம்: பதிவு செய்தல் இல்லை, பயன்பாட்டு வரம்பு இல்லை, எங்கள் சர்வர்களில் எந்தத் தரவும் இல்லை

யாராலும் தேர்ந்தெடுக்கப்படாத ஒரு எண் விளையாட்டுக்குத் தேவைப்படும் எந்த இடத்திலும் பகடைகள் தோன்றும். டேப்லெட்டாப் ரோல்-பிளேயிங் கேமர்கள் d20 கொண்டு தாக்குகிறார்கள், கதாபாத்திரத்தின் பண்பிற்காக 3d6 ஐயும், சதவீத சோதனைகளுக்கு d100 ஐயும் உருட்டுகிறார்கள், மேலும் தங்கள் பகடைப் பையில் பாதியைத் தொலைத்த குழு கூட எந்தத் தடையுமின்றித் தங்கள் ஆட்டத்தைத் தொடரலாம். சமையலறை மேஜையில் விரிக்கப்பட்ட போர்டு கேம்கள் பகடைகள் தொலைந்துபோன பிறகும் அதே வழியில் தொடர்கின்றன — “பக்கங்கள்” என்பதை 6 ஆகவும், “பகடை” என்பதை 2 ஆகவும் அமைத்துவிட்டு விளையாட்டைத் தொடருங்கள். தொலைதூரத்திலிருந்து விளையாடும் குழுக்கள் பகடைகளை ஒரு பகிரப்பட்ட திரையில் உருட்டுகின்றன, இதனால் பகடைகள் நின்றதும் எந்தப் பக்கம் விழுந்தது என்பதை அனைவரும் பார்க்கலாம். ஆசிரியர்கள் வழக்கமான நிகழ்தகவு வகுப்பை நடத்துகிறார்கள்: 2d6 ஐ 60 முறை உருட்டி, தொகைகளைக் கூட்டி, கரும்பலகையில் அந்தப் பேட்டர்ன் தானாகவே உருவாவதைப் பாருங்கள். கேம் வடிவமைப்பாளர்கள் ஒரு விளையாட்டு நுட்பம் அச்சுக்குப் போவதற்கு முன்பு, தோன்றுவது போலவே உண்மையிலும் பரந்த ஏற்றத்தாழ்வுள்ள முடிவுகளைத் தருகிறதா என்பதைச் சோதிக்கிறார்கள். மேலும் ஏராளமான உருட்டல்கள் யார் முதலில் விளையாடுவது, யார் காபி வாங்குவது அல்லது இரண்டு திட்டங்களில் எது வெற்றி பெறுகிறது என்பதை வெறுமனே முடிவு செய்கின்றன — இவை ஆயிரக்கணக்கான ஆண்டுகளாக மக்கள் பகடை மூலம் தீர்த்துக்கொண்டிருக்கும் விதியின் கைகளில் விடப்பட்ட முடிவுகள்.

இந்தக் கருவி தெரிந்துகொள்ள வேண்டிய சில வெளிப்படையான வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு உருட்டலுக்கு ஒரு வகையான பகடை மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது: “பக்கங்கள்” புலத்தில் உள்ள மதிப்பு அந்த உருட்டலில் உள்ள ஒவ்வொரு பகடைக்கும் பொருந்தும், எனவே d20 மற்றும் d6 ஐ ஒன்றாக உருட்டுவதற்கு ஒரு உருட்டலுக்குப் பதிலாக இரண்டு தனித்தனி உருட்டல்கள் தேவைப்படும். மாற்றிகள் இல்லை, அட்வாண்டேஜ் (advantage) அல்லது டிஸ்அட்வாண்டேஜ் (disadvantage) உருட்டல்கள் இல்லை, வெடிக்கும் பகடைகள் (exploding dice) இல்லை மற்றும் பகடை குறியீட்டைத் தட்டச்சு செய்ய எந்த உரைப் பெட்டியும் இல்லை — நீங்கள் விழுந்த பக்கங்களையும் ஒட்டுமொத்தக் கூட்டலையும் பெறுகிறீர்கள், அதற்குப் பிறகு சேர்க்கப்படும் எந்தவொரு விதியையும் நீங்களே தீர்த்துக்கொள்ள வேண்டும். Σ ஒரு உருட்டலில் சேர்க்கப்பட்ட ஒவ்வொரு பகடையையும் கணக்கிடுகிறது, மேலும் “அனைத்தையும் நகலெடு” மற்றும் “கோப்பில் சேமி” பொத்தான்கள் ஒட்டுமொத்தக் கூட்டலுக்குப் பதிலாகத் தனித்தனி பக்கங்களை எழுதுகின்றன. அனிமேஷன் எப்பொழுதும் பக்கங்களின் எண்ணிக்கையைப் பொருட்படுத்தாமல் ஆறு பக்க கனசதுரத்தையே காட்டுகிறது, ஏனெனில் அது அலங்காரத்திற்காக மட்டுமே: அது வந்து நிற்கும் இடம் கருவி ஏற்கனவே முன்கூட்டியே உருவாக்கிய உருட்டலாகும். உருட்டல்கள் உங்கள் சாதனத்திலேயே அகத்தில் நடக்கின்றன, எனவே தொலைதூரத்திலிருந்து விளையாடும்போது ஒரு நபர் உருட்டித் தனது திரையைப் பகிர்கிறார் — இந்தக் கருவி மூன்றாம் தரப்பினர் சான்றளிக்கக்கூடிய உருட்டலை அல்ல, நீங்களே விளக்கக்கூடிய ஒரு உருட்டலை உருவாக்குகிறது. மேலும், கிரிப்டோகிராஃபிக் முறைப்படி நியாயமான பகடை என்பது ஒரு நியாயமான பகடை மட்டுமே: இது எந்த லாட்டரி அல்லது கேசினோ டிராவுடனும் தொடர்பு கொண்டிருக்கவில்லை, மேலும் இது யாருக்கும் எந்தச் சாதகத்தையும் அளிக்காது. இந்த வரம்புகளுக்குள், உத்தரவாதம் உறுதியானது — ஒவ்வொரு உருட்டலிலும் எந்தப் பகடையின் எந்தவொரு பக்கமும் விழுவதற்குச் சரியாகச் சமமான வாய்ப்பு உள்ளது.